Non, aucun texte ne vous oblige à avoir une carte d'identité. Néanmoins, si vous êtes soumis à un contrôle d'identité, la procédure sera plus longue si vous ne pouvez pas présenter de pièce d'identité.
Par ailleurs, pour la plupart des démarches, il faut prouver son identité. Si vous n'avez aucun titre d'identité, vous risquez donc d'avoir des difficultés. Il s'agit, par exemple, des situations suivantes :
Examen ou concours
Inscription à Pôle emploi
Inscription sur les listes électorales et vote aux élections
Opérations bancaires (paiement par chèque, retrait au guichet de votre banque)